En corner fra venstre fant veien til Sadio Mané, som fikk snike seg helt umarkert frem på første stolpe.
Stussen fant veien til Fabinho, som fikk første forsøket reddet før han selv satte inn returen om lag fem minutter før pause.
– Jeg er overrasket selv, sier Fabinho etter kampen. Han har nå fem mål i alle turneringer siden årsskiftet.
Jürgen Klopp valgte å starte med både Mohamed Salah og Sadio Mané for første gang siden finalistene i Afrikamesterskapet satte kursen sørover.
Dermed ble Diogo Jota og nyervervelsen Luiz Dias begge plassert på benken. Førstnevnte erstattet Mané etter 67 minutter.
Den andre omgangen var relativt sjansefattig – og litt tunge værforhold virket også å prege spillerne.
– Været påvirket kampen litt, man klarer ikke å beregne ballen skikkelig. Burnley hadde noen øyeblikk, men jeg synes vi kontrollerte kampen godt, sier Jürgen Klopp til beIN Sports.
Mot tampen av oppgjøret kunne Liverpool punktert kampen da Salah og Jota kom to mot én, men egypterens pasning ble for svak.
– Det var ingen stor kamp, såpass ærlig må vi være, konkluderte TV 2-ekspert Nils Johan Semb.
– Liverpool er griseheldige som stikker fra Turf Moor med tre poeng i dag. Det var en blytung forestilling, mente komiker og Liverpool-supporter Rasmus Wold i TV 2s studio.
Burnley klarte aldri å mobilisere en sterk sluttspurt, og det hjalp heller ikke at den nye spissen Wout Weghorst haltet av et kvarter før slutt etter å ha landet feil.
Samtidig som Burnley – Liverpool ble det spilt to andre kamper i Premier League.
Tottenham røk overraskende på et 0–2-tap hjemme mot Wolverhampton etter at Raúl Jiménez og Leander Dendoncker satte inn ett mål hver.
Newcastle dro i land en 1–0-seier. Januarkjøpet Kieran Trippier scoret på frispark for andre kamp på rad. Ollie Watkins hadde en ball i nettet, men målet ble annullert for en hårfin offside.