Christian Eriksens perfekte innlegg på bakerste stolpe ga 24-åringen en forholdsvis enkel øvelse med å sette inn 1–0.
Da Rashford fulgte opp med en glimrende heading, kunne hjemmefansen på Old Trafford juble for United-angriperens hundrede scoring for storklubben.
– Det er åpenbart en god følelse. For meg er det enormt, og noe familien min og jeg har drømt om, sier matchvinneren til Viaplay om å ha nådd milepælen.
Scoringen holdt til Manchester Uniteds andre strake hjemmeseier. Vertene var klart best i første omgang, men West Ham yppet seg voldsomt mot slutten av kampen.
– Jeg synes ikke vi spilte på vårt beste i dag, men hvis vi vil nå ambisjonene våre må vi vinne kamper som dette, Rashford til Sky Sports.
Manchester United-manager Erik ten Hag var meget fornøyd med klubbhelten etter kampslutt.
– Det er en flott prestasjon. At han scorer 100 mål er fantastisk, og det er fantastisk for Manchester United. Akademiet er veldig bra og det er god historikk der, sier ten Hag til Sky Sports om Rashford, som har vært i United hele livet.
Manageren påpeker samtidig at laget ikke er «friskmeldt», selv etter sju seiere på de siste ti kampene i Premier League.
– Jeg synes det er litt tidlig å si, man ser jo det på andre omgang. Men lagånden vi har er fabelaktig og vi har kvaliteten til å score mål. Hvis vi fortsetter, er vi på rett vei, sier han.
Både Kurt Zouma, Jarrod Bowen og innbytter Michail Antonio kom til store sjanser på tampen, men David de Gea hadde en svært god dag på jobben for Manchester United.
– Jeg føler meg sliten. Folk tror ikke at keepere blir slitne, men vi slet på slutten, sier målvakten til Sky Sports.
Spanjolen vartet opp med flere avgjørende redninger på overtid i andre omgang, og det ble nervepirrende sluttminutter for både hjemme- og bortelaget.
Manchester United klatrer med det til femteplass på tabellen, mens West Ham ligger som nummer 13 i Premier League.
Også Cristiano Ronaldo, som var tilbake i startelleveren i Premier League etter oppstyret, hadde brukbare sjanser til å øke ledelsen for United etter pause. Flere mål ble det likevel ikke, og Rashford ble matchvinner.
Rashford var også hjemmelagets klart heteste spiller til å begynne med, og satte fyr på kampen like før pause i det som var en relativt tam forestilling i første omgang.
Hjemmelaget styrte det meste, mens gjestene hadde et par visitter foran buret til David de Gea. Bortelagets stjernespiller Jarrod Bowen klarte ikke å holde seg onside på gjestenes beste sjanse før hvilen, og maktet heller ikke å sette en kjempemulighet på overtid i andre omgang.
Ronaldo-scoring da Manchester United sikret playoff
United-legender i opphetet Ronaldo-debatt: – Han har mistet hodet
Casemiro reddet United-poeng etter ellevilt sluttdrama