Jeff Hendrick ble matchvinner for bortelaget i det 21. minutt. Burnley-spilleren avsluttet et flott angrep med en kontrollert avslutning fra ti meters hold.
Everton-stjernen Wayne Rooney, som har hatt en turbulent retur til moderklubben etter overgangen fra Manchester United i sommer, måtte konstatere at Koeman gikk for tidligere Brann-spiller Oumar Niasse fra start søndag.
Rooney kom innpå etter en drøy time på Goodison, men den tidligere landslagskapteinen maktet ikke å bidra til poeng for de blå.
Han hadde glemt hvordan det var å score. Etter fire og et halvt år skulle Arsenal-spilleren endelig lykkes.
Burnley imponerer
Dermed fortsetter Merseyside-lagets tunge periode, tross en opptur hjemme mot Bournemouth sist helg (2-1-seier). Før det ble det strake tap mot Manchester United, Tottenham og Chelsea.
Resultatet søndag gjør at Burnleys imponerende borteform i serien fortsetter. "The Clarets" har ennå ikke tapt borte denne sesongen, tross kamper mot både Liverpool og Everton.
Burnley er helt oppe i ryggen på topplagene etter sju runder. Sean Dyche og co. står med tolv poeng så langt, mens Everton kun har sju. Koemans mannskap, som kun har to poeng til nedrykksplass, har for øvrig ikke holdt nullen på seks kamper i Premier League.
Frustrerende
Everton presset på for utligning i 2. omgang, men Burnley vartet opp med bunnsolid forsvarsspill. Gylfi Sigurdsson, Rooney og de andre Everton-profilene fikk trille mye ball, men uten å skape mange store sjanser. Nevnte Oumar Niasse fikk en god mulighet med hodet et stykke ut i 2.-omgangen, men spissens hodestøt gikk like til side for mål.
Everton og Rooney ville ha hands og straffespark inne i Burnleys boks både seks minutter før slutt og to minutter på overtid, men vertene fikk ikke gehør hos dommer John Moss.
Unggutten Dominic Calvert-Lewin kom til en god skuddmulighet på tampen, men Everton-spillerens avslutning gikk rett i fanget på Burnley-keeper Nick Pope. Matchen ebbet ut i tre poeng til bortelaget. (@NTB)