I 1985 hoppet han av fra daværende Tsjekkoslovakia for å slutte seg til et NHL-lag i USA. Han fikk kontrakt med Detroit Red Wings. Før ham hadde flere spillere sluttet seg til kanadiske lag.
Han ble Stanley Cup-vinner med Edmonton Oilers i 1990. Klima ble matchvinner i den første finalekampen mot Boston Bruins i tredje overtidsperiode, et av de mest ikoniske mål i Oilers-historien.
Det var første og fortsatt eneste NHL-tittel for Oilers etter at Wayne Gretzky forlot klubben.
I løpet av NHL-karrieren spilte Klima for Red Wings, Oilers, Tampa Bay Lightning, Los Angeles Kings og Pittsburgh Penguins fordelt på 13 sesonger. Dermed endte han med 786 kamper, 313 mål og 260 assist i den nordamerikanske ishockeyligaen.
Det var hans moderklubb Litvinov og Kadan, hvor han tidligere har vært sportssjef, som offentliggjorde hans bortgang. Dødsårsaken er ikke oppgitt.
Oilers hedrer Klima på sin Twitter-konto. NHL publiserte også minneord.